В середине
1960-х им разработана фрактальная геометрия, целью которой был анализ ломаных,
морщинистых и нечетких форм. Множество Мандельброта (показано на рисунке) –
первая ассоциация, возникающая у человека, когда он слышит слово «фрактал». К
слову, Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии
Англии составляет 1,25. Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов.
На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная
физика или математика. Броуновское движение – это, например, случайное и
хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения,
возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее
практическое использование.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Протекание главного
процесса, изображенного на схеме, обеспечивается существованием трех
обеспечивающих процессов, являющихся главными для порождающих их ТС. Справедливости ради отметим, что для функционирования даже минимальной ТС трех
процессов явно недостаточно, т.е. Пионером в этой области познания
был франко-американский математик, профессор Бенуа Б.
- Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов.
- Протекание главного
процесса, изображенного на схеме, обеспечивается существованием трех
обеспечивающих процессов, являющихся главными для порождающих их ТС. - Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети.
- На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.
- Броуновское движение – это, например, случайное и
хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде.
Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с
тем, что они имеют очень сложную геометрию. Для передачи данных на расстояния
используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их
размеры и вес. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а — число звеньев генератора. Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости.
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.
Сущность (описание) каждой команды
составляет совокупность отдельно взятого полезного процесса, сопутствующих ему вредных
процессов и набора необходимых управляющих процессов. В таком алгоритме набор
обеспечивающих процессов является обычной подпрограммой – и здесь мы тоже
обнаруживаем фрактал. Созданный четверть века назад метод Р.Коллера позволяет
при создании систем обойтись достаточно ограниченным набором всего из 12 пар
функций (процессов). Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
Фракталы в комплексной динамике
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой есть ли польза от демо области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа. Полезный (нужный человеку) процесс не может выполняться
со стопроцентной эффективностью. Рассеиваемая энергия затрачивается на создание
вредных процессов – нагрев, вибрации и т.п.
Примеры
Схемы процессов, протекающих
в технических объектах, имеют четко выраженное фрактальное строение. Структура
минимальной технической системы (ТС) подразумевает протекание в пределах ТС
двух типов процессов – главного и обеспечивающих, причем это деление условно и
относительно. Любой процесс может быть главным по отношению к обеспечивающим, а
любой из обеспечивающих процессов может считаться главным по отношению к
«своим» обеспечивающим процессам.
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). К примеру, размерность линии – 1, площади – 2,
объема – 3.
Фрактал
По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу. В случае, когда отображения — преобразования подобия с коэффициентами , размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс. Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.
Кружками на схеме обозначены физэффекты,
обеспечивающие протекание тех процессов, для обеспечения которых не требуется
специально создавать «свои» ТС. Эти процессы являются результатом
взаимодействия между веществами, полями, веществами и полями. Если быть точным,
то физэффект – это ТС, на принцип работы которой мы не можем повлиять, а в ее устройство
не желаем или не имеем возможности вмешиваться.